4/02/2019

Cours : Analyse 3 Formules de Taylor, Développement Limité et Applications PDF

Cours : Analyse 3 Formules de Taylor, Développement Limité et Applications S2 PDF
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Tableau du cours d'analyse 3 de SMIA pdf :


Développements limités 5
1.1 Comparaison de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Equivalence de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Dérivées successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1 Un rappel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.3 Fonctions convexes et dérivation . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Les formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.1 Rappels sur les comparaisons de fonctions . . . . . . . 15
1.4.2 La formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.3 Développements limit ́es . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.4 Développement des fonctions usuelles . . . . . . . . . . 20
1.4.5 Taylor-Lagrange, reste intégral . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5 Propriétés des développements limités . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5.1 Opérations sur les développements limités . . . . . . . 23
1.5.2 Comportement local près des points critiques . . . . . . 26
2 Intégration 29
2.1 Fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.1 Subdivisions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.2 Fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.3 Intégrales de fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Fonctions Riemann-intégrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.1 Construction de l’intégrale de Riemann . . . . . . . . . 33
2.2.2 Opérations sur les fonctions intégrables . . . . . . . . . 36
2.2.3 Intégrales et inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.4 Intégrales et produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3 Familles de fonctions intégrables . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.1 Manipulation de fonctions intégrables . . . . . . . . . . 40
2.3.2 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.3 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.4 Convention et relation de Chasles . . . . . . . . . . . . 43
2.4 Primitives et intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4.1 Le théorème fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4.2 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4.3 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.5 Quelques résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.6 Sommes de Riemann, de Darboux, surfaces etc. . . . . . . . . 52
2.6.1 Sommes de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.6.2 Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.6.3 Estimation d’erreurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.6.4 Lien avec les surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.7 Intégrales de suites de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.7.1 Ce qui ne marche pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.7.2 Limite uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Niveausemestre s2
FiliéreSMIA
ModuleAnalyse 
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